סוגי השאלות

אז הבנו שלמידה טובה חייבת להיות מגובת בשאלות עם פתרונות. לרשות הסטודנט בקורס, עומדות שלל שאלות עם פתרונות: שאלות ממבחנים, שאלות מתרגולים, ספרים שונים ועוד. אך האם באמת לכל שאלה יש פתרון? האם הפתרון מכיל את כל הידע הדרוש?

את השאלות בחדו”א, אני אוהב לחלק לשני סוגים:

1. שאלות טכניות
2. שאלות הוכחה

שאלות טכניות בדרך כלל יראו כך:

חשבו את הגבול $$\lim_{n\to\infty}\frac{e^{\sqrt{n}}}{n!}$$ בין אם הגבול פשוט לחישוב או לא, במהלך הפתרון אתם נדרשים לבדוק את ארגז הכלים שלכם, ולחפש את השיטה המתאימה ביותר לפתרון השאלה על מנת להחזיר תשובה. שאלות אלו מאוד דומות בעומקן לשאלות שראיתם בתיכון, והדרך הטובה ביותר להשתפר בהן היא פשוט לפתור כמה שיותר שאלות. פשוט להשתמש ב”שיטת הלמידה המיטבית” מהחלק הקודם.

שאלות הוכחה יכולות להראות כך:

הוכיחו כי אם $\lim_{n\to\infty}a_{n}=A$ וגם $\lim_{n\to\infty}b_{n}=B$ אז מתקיים $\lim_{n\to\infty}a_{n}+b_{n}=A+B$

שאלות הוכחה הן שונות בתכלית. שאלות הוכחה לא דומות לשום דבר שלמדנו בתיכון (אולי קצת לגאומטריה אבל לא ברמת סיבוכיות דומה). בשאלות הוכחה אנו מקבלים סט נתונים, ובעזרת תאוריה עשירה, כללי הסקה לוגיים וניסוח בשפה גבוהה אנחנו נדרשים להסיק מסקנה מתבקשת. אז מדוע פתרון מספר רב של שאלות לא יביא אותנו לרמה הדרושה כמו עם שאלות טכניות? שאלה מעולה. האם באמת שאלה הוכחה עם פתרון מכילה את כל הפתרון?

שלוש השכבות של פתרון שאלת הוכחה

כל פתרון של שאלת הוכחה בנוי משלוש שכבות:

שלוש השכבות של הפתרון

שכבת התאוריה

שכבה זו מכילה את כל הטענות, שההוכחה משתמשת בהן. במילה טענה, אני מתכוון ממש לכל הטענות, המשפטים, התכונות, האקסיומות, ואפילו כל שיוויון ואי-שיוויון שמופיעים בפתרון. למשל, בשכבת התאוריה של פתרון כלשהו יכולים להופיע: הגדרת הגבול, אקסיומת השלמות, הגדרת מונוטוניות עלייה של סדרה והגדרת הסופרמום. זהו בעצם אוסף לא מסודר של עובדות.

שכבת הלוגיקה

לוגיקה מתמטית היא ענף במתמטיקה שעוסק בין היתר בשיטות כיצד ניתן להסיק טענות נכונות מאוסף של טענות נכונות אחרות. הענף כולל שלל חוקים וכללים המאפשרים לעשות הסקה. מבחינת הלוגיקה המתמטית, שכבת הלוגיקה מכילה את “המתכון” לחיבור כל הטענות שמכילה שכבת התאוריה לכדי הסקת המסקנה המתבקשת בשאלה. שימו לב ששכבת הלוגיקה המתמטית היא לא ה-פתרון, אלא מהווה גם היא מרכיב גולמי הבנוי על שכבת התאוריה, ממנו מורכב הפתרון של ההוכחה. האופן בו מיוצגת שכבת הלוגיקה הוא כללי ולא קשור ישירות למילים משפת בני האדם. כך למשל כל מילות הקישור שמתארות סיבה ותוצאה (כמו “לכן”, “לפיכך”) מתוארות בלוגיקה המתמטית בתור $\Leftarrow$ (זו אפילו לא מילה). אתם כמובן מכירים את הסימונים $\forall$ (לכל) ו-$\exists$ (קיים). כל טענה מתמטית יכולה להיות מתוארת בעזרת שפת הרובוטים הזו. למשל הגדרת חסימות של סדרה יכולה להיות מתוארת כך $$\exists M>0,\,\forall n\in\mathbb{N}\:\left[\left|a_{n}\right|<M\right]$$ לא נעים, נכון? ולכן קיימת השכבה הבאה.

שכבת הניסוח

היא בעצם מה שנכתב על הדף. שכבה זו מתרגמת את המושגים האבסטרקטיים של טענות והגדרות, עם החוקים הטכניים והלא-קריאים-על-ידי-אדם של הלוגיקה, לכדי שפה כמעט יומיומית אותה ניתן לקרוא ולהבין. היא כוללת מילות קישור, חלוקה לפסקאות, וסידור פסקאות. בניגוד לשכבת התאוריה ושכבת הלוגיקה, לשכבת הניסוח יש בעיקרון אינסוף דרכים שונות לייצוג שלה. תמיד אפשר להחליף מילת קישור אחת במילת קישור דומה. לעיתים, אם שכבת הלוגיקה מאפשרת, ניתן אפילו להחליף סדר של משפטים בתוך שכבת הניסוח.

אם זה מה שמכיל פתרון של שאלה, מדוע עדיין קשה ללמוד את שאלות ההוכחה? ובכן, זהו אכן הפתרון, אך זו לא התשובה שמסופקת לכם עם “הפתרונות הרשמיים” של השאלה. הפתרונות הרשמיים מכילים בערך את המרכיבים הבאים:

מה מכיל “פתרון רשמי”

לכם הלומדים, בעצם, קיימת גישה רק לניסוח הפתרון, ואין לכם תיאור מפורש של שכבת התאוריה או הלוגיקה. בתהליך הקריאה של הפתרון, אנחנו יכולים לעבור משכבת הניסוח, לשכבת הלוגיקה ומשם לשכבת התאוריה. יחד עם זאת, בתהליך כתיבת ההוכחה, אנחנו חייבים לחשוב תמיד על שלוש השכבות ביחד.

אם כן, על מנת להצליח להפיק את המירב מכל שאלה, עלינו לפתח את היכולת לזהות את שלוש השכבות בכל פתרון שאנו רואים, ותמיד לחשוב על שלושתן כאשר אנו כותבים הוכחה בעצמנו. ברגע שיש ביכולתנו את היכולת הזאת, למידת שאלות הוכחה הופכת להיות זהה ללמידת שאלות טכניות רגילות, ואנחנו על המסלול המהיר להצלחה.

בפרק הלוגיקה באתר נכיר את שכבת הלוגיקה, מי השחקנים בה ואיך היא נראת. בפרק כתיבת ההוכחות נלמד על הממשקים בין שכבת הלוגיקה לשכבת הניסוח, נפרק יחד מספר דוגמאות לשלוש השכבות השונות, ונלמד שיטות אוטומטיות לעבור בין השכבות.

---